UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 23/04/2016



Bài 1 (4.0 điểm):
a) Chứng minh rằng: Chữ số tận cùng của hai số tự nhiên n và n5 là như nhau.
b) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p là số nguyên tố.

Bài 2 (3.0 điểm):
a) Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:



Bài 3 (3.0 điểm):
Cho biểu thức:

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Tính giá trị của P khi x thỏa mãn: x3 – x2 + 2 = 0

Bài 4 (4.0 điểm):
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0

Bài 5 (4.0 điểm):
Cho M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2
2.
b) Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẽ MN
AB tại N, gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2.

Bài 6 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC có
. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho
. Đường phân giác của góc
cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng: CF | | AE.


Họ tên thí sinh:……………………………………………..SBD:…………


HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
KỲ THI HSG CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2015 - 2016

Bài
Nội dung
Điểm

1
(4đ)
a
(2đ)
+) Với n = 0; n = 1, rõ ràng n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau.
0,25đ



+) Với n
2. Ta xét hiệu:



0,75đ



Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại số chia hết cho k Do đó:



0,5đ



Suy ra:


có chữ số tận cùng là 0

Chữ số tận cùng của hai số n và n5 là như nhau (đpcm)
0,5đ


b
(2đ)
Ta có: x2 + x – p = 0
p = x2 + x
p = x(x + 1)
0,5đ



Với
, ta có x và (x + 1) là hai số nguyên liên tiếp

0,5đ



Mặt khác p là số nguyên tố
p = 2
0,5đ




x(x + 1) = 2
(x – 1)(x + 2) = 0
x = 1, hoặc x = – 2
0,5đ

2
(3đ)
a
(1đ)
Từ

Tương tự:
;

0,5đ



 Do đó:

0,5đ


b
(2đ)
+) Ta có:





0,5đ



Với mọi x, ta có:

Đẳng thức A = 2013 xảy ra khi và chỉ khi: x – 1 = 0
x = 1
0,25đ



Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: minA = 2013
x = 1
0,25đ



+) Ta có:



0,5đ



Với mọi x
0, ta có:



Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi: x – 2016 = 0
x = 2016
0,25đ



Vậy giá trị nhỏ nhất của B là:

x = 2016
0,25đ

3
(3đ)
a
(0,5đ)
a) Tìm điều kiện đúng:

0,5đ