SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013
( Đề thi gồm có 01 trang )

Câu 1 (2,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức:
với

b) Cho
. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
Câu 2 (2,0 điểm):
Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình sau:

Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
chia hết cho 5 thì
chia hết cho 5.
b) Cho phương trình
với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết
là nghiệm của phương trình.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho
với n
.
Chứng minh rằng:
.
------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… ….. Số báo danh …………….
Chữ kí giám thị 1 ………………….. Chữ kí giám thị 2 …………………..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013


Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm
CÂU
PHẦN
NỘI DUNG
ĐIỂM

Câu 1
2,0
điểm
a)
1,0 điểm
Ta có :


Nhưng do theo giả thiết ta thấy
<0



0,25



0,25


0,25


0,25đ


b)
1,0
điểm

=>



B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013

0,25

0,25
0,25
0,25

Câu 2
2,0
điểm
a)
1.0 điểm
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình
Với
, phương trình đã cho tương đương với:

Đặt
phương trình trở thành


Giải phương trình ta được
( thỏa mãn )
Với
ta có

Giải phương trình ta được
( thỏa mãn )
Với
ta có

Giải phương trình ta được
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là :
;









0,25



0,25



0,25







0,25


b)
1,0 điểm

(I) (
)
Đặt S=
; P =
(
) hệ (I) có dạng
II)
Giải hệ ( II) và đối chiếu điều kiện ta được
Khi đó
là 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0
Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1
Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm






0,25


0,25


0,25


0,25

Câu 3
2,0
điểm
a)
1.0 điểm



( Vì 5 là số nguyên tố)


0.25