ĐỀ ÔN TẬP HỌC KỲ II
MÔN TOÁN LỚP 9
(Thời gian làm bài: 90 phút)
Bài 1. (2 điểm) Cho
với

a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tính giá trị của M khi

c) Tìm
để giá trị của M là 1 số tự nhiên.
Bài 2. (2 điểm) Cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1.
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P). Tìm giá trị của m để:

Bài 3. (1,5 điểm)
Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong
giờ xong việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC ( M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
a) Chúng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
d) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho P nằm cùng phía với C đối với đường thẳng AB và
.
Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài 5. (1 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
--- Hết ---




ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
(2,5đ)
a) Rút gọn





b) Tính

Thay vào tính được M = - 1,5
c)

Vì
nên:
Nếu x = 0 thì M = 0.
Nếu
thì
khi
và
là ước của 9. Do đó

Vậy với
thì M là số tự nhiên.

0,5đ

0,5đ


0,5đ


0,5đ
0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ

Bài 2
1,5đ
a) Xét PT
(1)

với mọi m, nên PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Suy ra với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Vì x1 ,x2 là hai nghiệm của (1), nên theo định lý Vi – ét ta có:


Ta có:

0,25đ

0,5đ



0,25đ


0,5đ


Bài 3
2đ
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ. (x > 0)
Thì thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 giờ.
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
công việc.
Trong 1 giờ người thứ hai làm được
công việc.

Trong 1 giờ cả hai người làm được
công việc.
Lập luận để đi đến PT

Biến đổi dẫn đến PT:

Giải PT tìm được

Trả lời: thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là 4 giờ.
thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 6 giờ.

0,25đ



0,25đ
0,25đ


0,25đ

0,25đ
0,25đ

0,25đ

0,25đ

Bài 4
3,5đ


a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp (1đ)
Vẽ hình câu 1đúng.

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

( K là hình chiếu của H trên AB)
Xét tứ giác CBKH có

Vậy tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
(1đ)

(1) ( góc nội tiếp chắn cung AM)

(2) ( do CHKB là tứ giác nội tiếp)
Từ (1) và (2) suy ra