Chöông I : MEÄNH ÑEÀ – TAÄP HÔÏP
§1: Meänh ñeà vaø meänh ñeà chöùa bieán
A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1.Ñònh nghóa :
Meänh ñeà laø moät caâu khaúng ñònh Ñuùng hoaëc Sai .
Moät meänh ñeà khoâng theå vöøa ñuùng hoaëc vöøa sai
2.Meänh ñeà phuû ñònh:
Cho meänh ñeà P.Meänh ñeà “Khoâng phaûi P ” goïi laø meänh ñeà phuû ñònh cuûa P
Kyù hieäu laø
. Neáu P ñuùng thì
sai, neáu P sai thì
ñuùng
Ví duï: P: “ 3 > 5 ” thì
: “ 3
5 ”
3. Meänh ñeà keùo theo vaø meänh ñeà ñaûo :
Cho 2 meänh ñeà P vaø Q. Meänh ñeà “neáu P thì Q” goïi laø meänh ñeà keùo theo
Kyù hieäu laø P ( Q. Meänh ñeà P ( Q chæ sai khi P ñuùng Q sai
Cho meänh ñeà P ( Q. Khi ñoù meänh ñeà Q ( P goïi laø meänh ñeà ñaûo cuûa P ( Q
4. Meänh ñeà töông ñöông
Cho 2 meänh ñeà P vaø Q. Meänh ñeà “P neáu vaø chæ neáu Q” goïi laø meänh ñeà töông
ñöông , kyù hieäu P ( Q.Meänh ñeà P ( Q ñuùng khi caû P vaø Q cuøng ñuùng
5. Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “ (x( X, P(x) ” laø meänh ñeà “(x(X,
”
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “ (x( X, P(x) ” laø meänh ñeà “(x(X,
”
Ví duï:
Cho x laø soá nguyeân döông ;P(x) : “ x chia heát cho 6” ; Q(x): “ x chia heát cho 3”
Ta coù : ( P(10) laø meänh ñeà sai ; Q(6) laø meänh ñeà ñuùng
(
: “ x khoâng chia heát cho 6”
( Meänh ñeà keùo theo P(x)( Q(x) laø meämh ñeà ñuùng.
( “(x( N*, P(x)” ñuùng coù phuû ñònh laø “(x( N*,
” coù tính sai
B: BAØI TAÄP
Baøi 1: Caùc caâu sau daây, caâu naøo laø meänh ñeà, vaø meänh ñeà ñoù ñuùng hay sai :
ÔÛ ñaây laø nôi naøo ?
Phöông trình x2 + x – 1 = 0 voâ nghieäm
x + 3 = 5
16 khoâng laø soá nguyeân toá
Baøi 2: Neâu meänh ñeà phuû ñònh cuûa caùc meänh ñeà sau :
“Phöông trình x2 –x – 4 = 0 voâ nghieäm ”
“ 6 laø soá nguyeân toá ”
“(n(N ; n2 – 1 laø soá leû ”
Baøi 3: Xaùc ñònh tính ñuùng sai cuûa meänh ñeà A , B vaø tìm phuû ñònh cuûa noù :
A = “ (x( R : x3 > x2 ”
B = “ ( x( N , : x chia heát cho x +1”
Baøi 4: Phaùt bieåu meänh ñeà P ( Q vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa noù vaø phaùt bieåu meänh ñeà ñaûo :
a) P: “ ABCD laø hình chöõ nhaät ” vaø Q:“ AC vaø BD caét nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng”
b) P: “ 3 > 5” vaø Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giaùc ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A” vaø Q :“ Goùc B = 450 ”
Baøi 5: Phaùt bieåu meänh ñeà P ( Q baèng 2 caùch vaø vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa noù
a) P : “ABCD laø hình bình haønh ” vaø Q : “AC vaø BD caét nhau taïi trung ñieåm moãi ñöôøng”
b) P : “9 laø soá nguyeân toá ” vaø Q: “ 92 + 1 laø soá nguyeân toá ”
Baøi 6:Cho caùc meänh ñeà sau
a) P: “ Hình thoi ABCD coù 2 ñöôøng cheùo AC vuoâng goùc vôùi BD”
b) Q: “ Tam giaùc caân coù 1 goùc = 600 laø tam giaùc ñeàu”
c) R : “13 chia heát cho 2 neân 13 chia heát cho 10 ”
- Xeùt tính ñuùng sai cuûa caùc meänh ñeà vaø phaùt bieåu meänh ñeà ñaûo :
- Bieåu dieãn caùc meänh ñeà treân döôùi daïng A ( B
Baøi 7: Cho meänh ñeà chöùa bieán P(x) : “ x > x2” , xeùt tính ñuùng sai cuûa caùc meänh ñeà sau:
P(1) c) P(
)
(x(N ; P(x) d) (x( N ; P(x)
Baøi 8: Phaùt bieåu meänh ñeà A ( B vaø A ( B cuûa caùc caëp meänh ñeà sau vaø xeùt tính ñuùng sai
A : “Töù giaùc T laø hình bình haønh ”
B: “Hai caïnh ñoái dieän baèng nhau”
A: “Töù giaùc ABCD laø hình vuoâng ”
B: “ töù giaùc coù 3 goùc vuoâng”
A: “ x > y ”
B: “ x2 > y2” ( Vôùi x y laø soá thöïc )
A: “Ñieåm M caùch ñeàu 2 caïnh cuûa goùc xOy ”
B: “Ñieåm M naèm treân ñöôøng phaân giaùc goùc xOy”
Baøi 9: Haõy xem xeùt caùc meänh ñeà sau ñuùng hay sai vaø laäp phuû ñònh cuûa noù :
(x(N : x2 ( 2x
(x( N : x2 + x khoâng chia heát cho 2
(x(Z : x2 –x – 1 = 0
Baøi 10 : Trong caùc meänh ñeà sau, meänh ñeà naøo coù meänh ñeà ñaûo ñuùng
A : “Moät soá töï nhieân taän cuøng laø 6 thì soá ñoù chia heát cho 2”
B: “ Tam giaùc caân coù 1 goùc = 600 laø tam giaùc ñeàu ”
C: “ Neáu tích 3 soá laø soá döông thì caû 3 soá ñoù ñeàu laø soá döông ”
D : “Hình thoi coù 1 goùc vuoâng thì laø hình vuoâng”
Baøi 11:Phaùt bieåu thaønh lôøi caùc meänh ñeà (x: P(x) vaø (x : P(x) vaø xeùt tính ñuùng sai cuûa chuùng :
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“
> x + 1”
c) P(x) : “
= x+ 2” x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”


§2: AÙP DUÏNG MEÄNH ÑEÀ VAØO PHEÙP SUY LUAÄN TOAÙN HOÏC
A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
1:Trong toaùn hoïc ñònh lyù laø 1 meänh ñeà ñuùng
Nhieàu ñònh lyù ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng “(x(X , P(x) ( Q(x)”
2: Chöùng minh phaûn chöùng ñinh lyù “(x(X , P(x) ( Q(x)” goàm 2 böôùc sau:
Giaû söû toàn taïi x0 thoûa P(x0)ñuùng vaø Q(x0) sai
Duøng suy luaän vaø caùc kieán thöùc toaùn hoïc ñeå ñi ñeán maâu thuaãn
3: Cho ñònh lyù “(x(X , P(x) ( Q(x)” . Khi ñoù
P(x) laø ñieàu kieän ñuû ñeå coù Q(x)
Q(x) laø ñieàu kieän caàn ñeå coù P(x)
4: Cho ñònh lyù “(x(X , P(x) ( Q(x)” (1)
Neáu meänh ñeà ñaûo “(x(X , Q(x) ( P(x)” ñuùng ñöôïc goïi laø dònh lyù ñaûo cuûa (1)
Luùc ñoù (1) ñöôïc goïi laø ñònh lyù thuaän vaø khi ñoù coù theå goäp laïi
“(x(X , P(x) ( Q(x)” Goïi laø P(x) laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå coù Q(x)

B: BAØI TAÄP :
Baøi 1: Phaùt bieåu caùc meänh ñeà sau vôùi thuaät ngöõ “Ñieàu kieän caàn”, “Ñieàu kieän ñuû ”
Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù cuøng dieän tích
Soá nguyeân döông chia heát cho 6 thì chia heát cho 3
Moäthình thang coù 2 ñöôøng cheùo baèng nhau laø hình thang caân
Baøi 2: Duøng phöông phaùp chöùng minh phaûn chöùng ñeå chöùng minh :
a) Vôùi n laø soá nguyeân döông, neáu n2 chia heát cho 3 thì n chia heát cho 3
b) Chöùng minh raèng
laø soá voâ tyû
c) Vôùi n laø soá nguyeân döông , neáu n2 laø soá leû thì n laø soá leû
Baøi 3: Phaùt bieåu caùc ñònh lyù sau ñaây baèng caùch söû duïng khaùi nieäm “Ñieàu kieän ñuû ”
a)Neáu trong maët phaúng, hai ñöôøng thaúng cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng
thöù 3 thì hai ñöôøng thaúng ñoù song song vôùi nhau
b)Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù dieän tích baèng nhau
c)Neáu soá nguyeân döông a taän cuøng baèng 5 thì chia heát cho 5
d)Neáu töù giaùc laø hình thoi thì 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc vôùi nhau
Baøi 4: Phaùt bieåu caùc ñònh lyù sau ñaây baèng caùch söû duïng khaùi nieäm“Ñieàu kieän caàn ”
a)Neáu trong maët phaúng, hai ñöôøng thaúng cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng
thöù 3 thì hai ñöôøng thaúng ñoù song song vôùi nhau
b)Neáu 2 tam giaùc baèng nhau thì chuùng coù caùc goùc töông öùng baèng nhau
c)soá nguyeân döông a chia heát cho 24 thì chia heát cho 4 vaø 6
d)Neáu töù giaùc ABCD laø hình vuoâng thì 4 caïnh baèng nhau

Baøi 5: Chöùng minh baèng phöông phaùp phaûn chöùng
a) Neáu a(b(c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Neáu a.b chia heát cho 7 thì a hoaëc b chia heát cho 7
c) Neáu x2 + y2 = 0 thì x = 0 vaø y = 0
Baøi 6 :Cho caùc ñinh lyù sau, ñònh lyù naøo coù ñònh lyù ñaûo, haõy phaùt bieåu :
“Neáu 1 soá töï nhieân chia heát cho 3 vaø 4 thì chia heát cho 12”
“Moät tam giaùc vuoâng thì coù trung tuyeán töông öùng baèng nöûa caïnh huyeàn ”
“Hai tam giaùc ñoàng daïng vaø coù 1 caïnh baèng nhau thì hai tam giaùc ñoù baèng nhau”
“Neáu 1 soá töï nhieân n khoâng chia heát cho 3 thì n2 chia 3 dö 1”

§3: Taäp hôïp vaø caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp
A.TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :

1. Taäp hôïp laø khaùi nieäm cuûa toaùn hoïc . Coù 2 caùch trình baøy taäp hôïp
Lieätkeâ caùc phaàn töû :
VD : A = (a; 1; 3; 4; b( hoaëc N = ( 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . (
Chæ roõ tính chaát ñaëc tröng cuûa caùc phaàn töû trong taäp hôïp ; daïng A = ({x/ P(x)(
VD : A = (x( N/ x leû vaø x < 6( ( A = (1 ; 3; 5(
*. Taäp con : A( B ((x, x(A ( x(B)
Cho A ≠ ( coù ít nhaát 2 taäp con laø ( vaø A
2. caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp :
Pheùp giao
Pheùp hôïp
Hieäu cuûa 2 taäp hôïp




A(B = (x /x(A vaø x(B(



A(B = (x /x(A hoaëc x(B(



A B = (x /x(A vaø x(B(

 Chuù yù: Neáu A ( E thì CEA = A B = (x /x(E vaø x(A(
3. caùc taäp con cuûa taäp hôïp soá thöïc
Teân goïi, kyù hieäu
Taäp hôïp
Hình bieåu dieãn

Ñoaïn [a ; b]
(x(R/ a ( x ( b(



Khoaûng (a ; b )
Khoaûng (-( ; a)
Khoaûng(a ; + ()
(x(R/ a < x < b(
(x(R/ x < a(
(x(R/ a< x (


Nöûa khoaûng [a ; b)
Nöûa khoaûng (a ; b]
Nöûa khoaûng (-( ; a]
Nöûa khoaûng [a ; ( )
((R/ a ( x < b(
(x(R/ a < x ( b(
(x(R/ x ( a(
(x(R/ a ( x (


B: BAØI TAÄP :
Baøi 1: Cho taäp hôïp A = {x( N / x2 – 10 x +21 = 0 hay x3 – x = 0}
Haõy lieät keâ taát caû caùc taäp con cuûa A chæ chöùa ñuùng 2 phaàn töû
Baøi 2: Cho A = {x (R/ x2 +x – 12 = 0 vaø 2x2 – 7x + 3 = 0}
B = {x (R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0 }
Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau
A ( B ; A B ; B A ; A(B
Baøi 3: Cho A = {x(N / x < 7} vaø B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xaùc ñònh AUB ; A(B ; AB ; B A
b) CMR : (AUB) (A(B) = (AB)U(B A)
Baøi 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5}
Tìm caùc giaù trò cuûa caëp soá (x ; y) ñeå taäp hôïp A = B = C
Baøi 5: Xaùc ñònh caùc taäp hôïp sau baúng caùch neâu tính chaát ñaëc tröng
A = {0 ; 1; 2; 3; 4}
B = {0 ; 4; 8; 12;16}
C = {-3 ; 9; -27; 81}
D = {9 ; 36; 81; 144}
E = Ñöôøng trung tröïc ñoaïn thaúng AB
F = Ñöôøng troøn taâm I coá ñònh coù baùn kính = 5 cm
Baøi 6: Bieåu dieãn hình aûnh taäp hôïp A ; B ; C baèng bieåu ñoà Ven
A = {0 ; 1; 2; 3}
B = {0 ; 2; 4; 6}
C = {0 ; 3; 4; 5}
Baøi 7 : Haõy lieät keâ taäp A, B:
A= {(x;x2) / x ( {-1 ; 0 ; 1}}
B= {(x ; y) / x2 + y2 ( 2 vaø x ,y (Z}
Baøi 8: Cho A = {x (R/ (x( ( 4} ; B = {x (R / -5 < x -1 ( 8 }
Vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng khoaûng – ñoaïn – nöûa khoaûng
A ( B ; A B ; B A ; R ( A(B)
Baøi 9: Cho A = {x (R/ x2 ( 4} ; B = {x (R / -2 ( x +1 < 3 }
Vieát caùc taäp hôïp sau döôùi daïng khoaûng – ñoaïn – nöûa khoaûng
A ( B ; A B ; B A ; R ( A(B)
Baøi 10: Goïi N(A) laø soá phaàn töû cuûa taäp A . Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.
Tính N(A(B) ; N(AB); N(BA)
Baøi 11: a) Xaùc ñònh caùc taäp hôïp X sao cho {a ; b}( X ( {a ; b ;c ;d ; e}
b)Cho A = (1