SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2012- 2013
Môn thi: Toán Lớp 9 THCS
Ngày thi 15 tháng 3 năm 2013
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu I. (4,0 điểm):
Cho biểu thức P =

Rút gọn P
Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Câu II. (5,0 điểm):
1. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
2. Giải hệ phương trình:

Câu III. (4,0 điểm):
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Cho m, n là các số tự nhiên thoả mãn
. Chứng minh rằng

Câu IV. (6,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm (Ω). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Đường tròn (ω) cắt (Ω) tại hai điểm A, N (A
N), Đường thẳng AM cắt đường tròn (ω) tại hai điểm A, K (K
A).
Chứng minh rằng ba điểm N, H, M thẳng hàng.
Chứng minh góc NDE = góc FDK
Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp.

Câu V. (1,0 điểm): Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau.

_________________Hết _________________
Giáo viên : Đỗ Tiến Hải – THCS Vĩnh Tân – Vĩnh Lộc
ĐÁP ÁN
Câu I. (4,0 điểm):
- ĐKXĐ :

1. Với
thì
P =
=

=
=

2. * Cách 1: Với
thì P =
=



giá trị nhỏ nhất của P = 4
x = 4 ( thỏa mãn đkxđ)
* Cách 2: đặt y =
(
) . P =
, tìm gtnn của P bằng phương pháp miền xác định .....
Câu II. (5,0 điểm):
1. * Cách 1 ta có : x4 – 4x3 + 8x + m = 0 (1)

Đặt y =
. Pt trở thành :
(2)
- phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
-6 < m < 3
* Cách 2: x4 – 4x3 + 8x + m = 0 (1)

 ; đặt ẩn phụ giải như cách 1
* Cách 3: Đặt x = a + 1 khi đó x4 – 4x3 + 8x + m = 0 (1)

 ;.....

2.
(I) ĐKXĐ: y
, đặt t =

hệ pt trở thành


Cách 1 : - trừ vế với vế hai pt, đưa về pt tích, ta được :

hoặc

hoặc

..........

(x ;y) = (-1 ;-2) ; (2 ; 1)
* Cách 2
là hpt đối xứng loại 1, biến đổi đặt x + t = a và xt = b ,.......
Câu III. (4,0 điểm)
1. vì n là số tự nhiên dương:
+ để 2n – 15 là số chính phương, dễ dàng chứng minh được n
và nếu n lẻ thì 2n – 15 không là số chính phương .
+ n chẳn đặt n = 2k ( k
) khi đó 2n – 15 = a



Giáo viên : Đỗ Tiến Hải – THCS Vĩnh Tân – Vĩnh Lộc

mà

thỏa mãn đk
n = 4;6 thỏa mãn đk .

Vậy n = 4;6 là các giá trị cần tìm.

2. * Cách 1 do

+

nếu 6n2 = m2 + 1 mà 6n2 chia hết cho 3 nên m2 + 1
vô lý vì

vậy 6n2
(1)
mặt khác
(2)
từ (1) và (2) suy ra

đpcm
* Cách 2 chứng minh : 6n2
(1)
Mà

(2)
Mặt khác :

đpcm
* Cách 3: do
nên

bất đẳng