SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011



Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
là một số chính phương.
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (3,0 điểm).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF =

b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K
(O).
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -




Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011


ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng B
-------------------------------------------

Câu:
Nội dung

1.


a,
(2,5)
*) Nếu



nên
(1)


*) Nếu




(2)


Từ (1) và (2)
thì


b, (2,5)
Đặt





=17.1


Do m + n > m - n




Vậy với n = 8 ta có


2.


a, (2.5)
 Giải phương trình
(1)
Điều kiện:



(1)
















thỏa mãn điều kiện

b,
(2.5)
Giải hệ phương trình


Trừ từng vế 2 phương trình ta có:











Ta có:
*)

Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)


*)
(*)
Vì phương trình
vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)

3.



Tìmgiá trị nhỏ nhất của

Ta có:







Dấu "=" xảy ra



Vậy
khi x = -2

4.


a, (2,5)




Gọi I là giao điểm của AH và BC ( AI ( BC
Ta có: (BHI (BCE (g, g)

(1)


Ta có: (CHI (CBF (g, g)

(2)


Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2

b, (2,0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra



Mà
(do tứ giác AFIC nội tiếp)






 ( tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ( K ( (O)

5.



+ Khi

.

F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính.

EF đi qua điểm O cố định.




+ Khi
< 900

> 900.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF.



(cùng bù
)

(Do I và K đối xứng qua EF)



nội tiếp



(cung chắn
) (1)

(Do