SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG B
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)


Câu 1. (4 điểm):
Tìm số tự nhiên n sao cho
là số chính phương.
b. Cho các số nguyên dương
thỏa mãn:

Chứng minh
là hợp số .
Câu 2.(5 điểm):
a. Giải phương trình:
.

b. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (3 điểm):
Cho
là các số thực dương thỏa mãn:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Câu 4. (6 điểm):
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O). Gọi M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MH, đường thẳng này cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C, D.
a. Chứng minh AC.BD = AH.BH
b. Xác định vị trí của điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ nhất.

Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng
cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

..............Hết..............


Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN




KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG B


( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
4.0đ
a
2.0đ
Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 119 là số chính phương.
Đặt n2 + 119 = k2 ; k
N, k > n
0.5



Suy ra k2 – n2= 119 => (k-n)(k+n) =119
0.5



Vì k, n là các số nguyên dương và k > n =>
k-n; k+n là các số nguyên dương và k+n > k-n
Mặt khác 119 = 1.7.17 => (k-n)(k+n) =119

0.5




hoặc
=> n = 5; 59
0.5


b
2.0đ
Vì
(1)
Xét a2 +b2 +c2+ d2 –(a+b+c+d) = (a2 –a)+(b2 –b)+(c2 -c)+( d2-d)
0.5





= a(a-1) + b(b-1) + c(c-1) + d(d-1)
2
0.5



Mà a2 +b2 +c2+ d2= 2(a2 +b2)
2=> a+b+c+d
2 (2)
0.5



Từ (1)và (2) => ĐPCM
0.5

Câu 2
5.0đ
a
2.5đ
ĐKXĐ

0.25



Đặt
ĐK b
0
0.25




phương trình trở thành

0.5




=>

0.5




(TMĐK)
0.5




 => x -1 =1 => x = 2 (TMĐKXĐ) Vậy pt có nghiệm là x =2
0.5


2b 2.5đ






0.5





x2y+ xy2+y = 0 ( y(x2+xy+1)=0

0.5





Với

0.5



Với


có
< 0 => PTVN
0.5



Vậy hệ pt có nghiệm là

0.5


Câu 3
3.0đ

Ta có

0.5




Tương tự

0.5




0.5


Vì abc=1


0.5