SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)





Câu 1. (4 điểm):
Cho hai số tự nhiên
thỏa mãn điều kiện:
.
Chứng minh rằng
và
đều là các số chính phương.
b. Tìm số tự nhiên
sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của
hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của
hợp số.
Câu 2. (5 điểm):
a. Giải phương trình:
.

b. Giải hệ phương trình:

Câu 3. (3 điểm):
Cho
là các số thực dương thỏa mãn:
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Câu 4. (6 điểm):
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
Ba điểm D, E, F thẳng hàng.

.
Câu 5. (2 điểm):
Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng
cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho.

..............Hết..............



Họ và tên thí sinh.............................................Số báo danh...........

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN



KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2014 – 2015

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN – BẢNG A

( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm

Câu 1
4.0đ
a
2.0đ
 Ta có : a2 +a = 2b2+b => a2 +a – b2 – b= b2

(1)
0.5



 Mặt khác gọi d là ƯCLN


0.5





=>
và
là hai số nguyên tố cùng nhau (2)
0.5



Từ (1) và (2) =>
và
đều là các số chính phương
0.5


b
2.0đ
Giả sử
trong đó
là các hợp số
Theo bài ra ta có:
+Mỗi số hạng
không thể viết thành tổng hai hợp số (1)
+Tổng hai hợp số bất kỳ không thể viết thành tổng 3 hợp số (2)
0.5





 Do 2015 là số lẻ nên tồn tại ít nhất một hợp số lẻ, hợp số lẻ đó phải bằng 9 vì 1;3;5;7;11;13 không phải là hợp số
Nếu có hợp số lẻ ai
15 thì
với
là số chẵn nên ai bằng tổng hai hợp số - trái với (1)
Mặt khác không có quá 1 hợp số bằng 9 vì nếu có hai hợp số bằng 9 thì 9+9 = 6+6+6 trái với (2)

0.5



Do đó

Với
là các hợp số chẵn =>
(3)
=> các hợp số phải nhận các giá trị 4 hoặc 6
Vì nếu
là hợp số chẵn và
thì
= 4+(
- 4) là tổng hai hợp số , trái với (1)
Số hợp số bằng 6 chỉ có thể là 1 vì nếu có hai hợp số bằng 6 thì
6+6=4+4+4 trái với (2)
Giả sử

0.5




=> (n-2)4= 2000 => n = 502
Vậy số tự nhiên cần tìm là n = 502
0.5

Câu 2
5.0đ
a
2.5đ
ĐKXĐ

0.25




Đặt
ĐK a; b
0
0.25




ta có




0.5





Với
- Loại
0.5



Với





0.5






TM ĐK

0.5


2b 2.5đ






0.5





x2y+ xy2+y = 0 ( y(x2+xy+1)=0

0.5





Với

0.5