SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————

Câu 1 (3,0 điểm).
1. Cho
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:


2. Cho biểu thức

Tìm tất cả các giá trị của
sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
thỏa mãn
.
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho
là các số thực thỏa mãn điều kiện:


Chứng minh rằng:
.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn
và
(kí hiệu
chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử
tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và
lần lượt tiếp xúc trong với
tại
. Tiếp tuyến của đường tròn
tại điểm I cắt đường tròn
lần lượt tại các điểm
. Đường thẳng
cắt lại đường tròn
tại điểm
, đường thẳng
cắt lại đường tròn
tại điểm
.
1. Chứng minh rằng tứ giác
nội tiếp và đường thẳng
vuông góc với đường thẳng
.
2. Kẻ đường kính
của đường tròn
sao cho
vuông góc với
(điểm
nằm trên cung
không chứa điểm
). Chứng minh rằng nếu
không song song thì các đường thẳng
và
đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————


I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

II. ĐÁP ÁN:

Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm

1
1
1,5 điểm




Nhận xét. Nếu
thì
.
Thật vậy, ta có

0,5



suy ra
.
Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có
.
0,5



Theo nhận xét trên ta có:


0,5


2
1,5 điểm




Điều kiện:
. Khi đó ta có
Rút gọn biểu thức ta được

0,5



Ta có
, ta coi đây là phương trình bậc hai của
. Nếu
vô lí, suy ra
nên để tồn tại
thì phương trình trên có



0,5



Do P nguyên nên
bằng 0 hoặc 1
+) Nếu
không thỏa mãn.
+) Nếu
không thỏa mãn
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.
0,5

2

1,5 điểm




Nếu
phương trình vô nghiệm. Do đó



0,5



Với
thay vào phương trình ban đầu ta được:

suy ra phương trình có nghiệm
.
0,5



Với
thay vào phương trình ban đầu ta được:

phương trình này vô nghiệm do
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
.
0,5

3

1,5 điểm




Ta có:



0,5





0,5





Suy ra

0,5

4






1
2,0 điểm




+) Ta có

đồng dạng với


0,5



suy ra
hay tứ giác
nội tiếp.

0,5



+) Ta có

và tam giác
cân tại
nên



0,5



Do đó ta được

0,5


2
1,0 điểm




Gọi
là