SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014


Môn thi : TOÁN
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 08/04/2014


Câu 1 (4 điểm).
a) Rút gọn biểu thức
với x ≥ 4.
b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn
và
.
Tính giá trị của biểu thức
.
Câu 2 (4 điểm).
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.
Chứng minh rằng
chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.
Câu 3 (6 điểm).
a) Giải phương trình
.
b) Giải hệ phương trình

c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.
Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
Câu 4 (3 điểm).
a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC.
b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC =
và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.

Câu 5 (3 điểm).
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC.
-------HẾT-------
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
I. Hướng dẫn chung:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án và đúng thì giám khảo căn cứ vào thang điểm của đáp án để cho điểm hợp lí.
Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.
Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25
II. Đáp án:
Câu
Nội dung
Điểm

1
(4đ)
a) Với x ≥ 4, ta có :
A

Xét các trường hợp :
* Với x ≥ 8 ta có :
A

* Với 4 ≤ x < 8 ta có :
A



0,25

0,5

0,25


0,25

0,25

0,25

0,25


b) Với a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, ta có:

Mà

Vậy
= 1



0,5

0,5


0,5



0,5

2
(4đ)
a) Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k (
)
( (n – 7)2 – k2 = 305
( (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305
Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61)
và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:




Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40.


0,25
0,25



0,25


0,25


0,25

0,25



0,25





0,25


b)


Vì a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5 nên:

(với k là số nguyên dương)
Vậy