SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2014-2015
Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 9

SỐ BÁO DANH:…………….. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang


Câu 1:(2.0 điểm)
Rút gọn

b) Không sử dụng máy tính, chứng minh
là số nguyên.
Câu 2:(2.0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Cho phương trình
có hai nghiệm nguyên dương biết a, b là hai số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3:(3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AC và AD lần lượt tại E,F.
a) Chứng minh
.
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn.
c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2015. Chứng minh rằng:

.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh là các số nguyên và bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích của nó. Chứng minh ABCD là hình vuông.

--------------------HẾT----------------------











SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
(Khóa ngày 17 tháng 3 năm 2015)
HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
Yêu cầu chung


* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu
Nội dung
Điểm

1

















a)
Ta có:





1,0 điểm
0,25

0,25


0,5


 b)






Vậy Q là số nguyên.
1,0 điểm

0,5

0,25

0,25


2








a) ĐK:









1,0 điểm
0,25



0,25


0,25


0,25



Gọi
là hai nghiệm nguyên dương của phương trình.
Ta có:
.
Khi đó :



Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Và phương trình có nghiệm là x1 = 6; x2 = 52.
1,0 điểm

0,25




0,5


0,25

3


































Hình vẽ chỉ cần dùng để giải được câu a cho điểm tối đa.
3,5 điểm







0,5



a) Trong tam giác vuông ABE có:

Trong tam giác vuông ABF có:

Ta có:


0,25
0,25
0,5



b