SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
GIA LAI Năm học 2011 – 2012
------------------------------------- MÔN: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-------------------------------------------------------------
Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho
. Tính giá trị của biểu thức

b) Chứng minh biểu thức
chia hết cho 7 với mọi số nguyên n.
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
có phương trình y = x + 1.
Tìm trên đường thẳng
các điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức

b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b.
Tìm a, b để d đi qua điểm B(1;2) và tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình

b) Gọi
là hai nghiệm của phương trình
(a là số thực)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho các số thực
sao cho
. Chứng minh rằng:

b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có 7 học sinh tham gia trò chơi ném bóng vào rổ. 7 học sinh này đã ném được tất cả 100 quả bóng vào rổ. Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau. Chứng minh rằng có 3 học sinh ném được tổng số quả bóng vào rổ không ít hơn 50 quả.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM (H, M thuộc BC). Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB và đường thẳng AC lần lượt tại D và E (D và E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng và MA vuông góc với DE
b) Chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D. Tứ giác AMOH là hình gì?
c) Đặt
. Chứng minh rằng:


----------------------Hết----------------------------


Họ và tên thí sinh:.........................................................SBD........................Phòng thi....................

Đáp án.
Câu 1. a) Rút gọn
..........................................................................................................0,5đ
Thay
vào biểu thức A ta được A = 1.....................................................................0,5đ
b)
……………………………………………….0,5đ

……………………………………………………0,5đ
=
………………………………………...…........................0,5đ
Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 7. ………………………...………0,5đ
Câu 2. a) Điều kiện x > 0. Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

. …………………………………………………………………....0,25đ
Giải hệ ta được x =1; y =2……………………………………………………………………………..1,0đ
Vậy M(1;2) …………………………………………………………………………………0,25đ
b) Vì đường thẳng d đi qua B(1;2) nên b = 2- a ……………………………………… 0,25đ
Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + 2 – a
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:

……………………………………………………………….…..0,25đ
(d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép

………………………………………………………………………………...0,5đ
Với a = 4 suy ra b = -2………………………………………………………………………..………0,25đ
Vậy a = 4; b= -2 thỏa yêu cầu bài toán………………………………………………………0,25đ
Câu 3. a) Ta xét hai trường hợp.
TH1:
ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)………………...0,5đ
TH2:
ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn điều kiện)……………..…0,5đ
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (-3;4);
…………………………………………..0,5đ
b) Ta có ac < 0 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu………………………0,25đ
Ta có
……………………………………………………………….0,25đ
Do đó
(do
)…………………………..............0,5đ

=
…………………………………………………………..0,25đ
=
…………………………………………………………….....................0,25đ

(do
).....................................................................0,5đ

với mọi a ………………………………………...............0