SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————


Câu 1 (1,5 điểm).
Giải phương trình:
.
Câu 2 (3,0 điểm).
1. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
2. Chứng minh đẳng thức sau:

.
Câu 3 (2,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 nghiệm đó.
2. Cho dãy số
được xác định bởi:
, với mọi
.
Chứng minh rằng dãy số
xác định như trên là một dãy số bị chặn.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, các cạnh bên bằng nhau và bằng
(
). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo
.
2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng
.
3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện
và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng
đạt giá trị nhỏ nhất.


—Hết—

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….






SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:

Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm

1

1,5 điểm




Điều kiện:
(*)
Phương trình đã cho tương đương với:

0,25





0,5



+ Với

0,25



+ Với

0,25



Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là:


0,25

2
1
1,5 điểm




Số các số tự nhiên có 5 chữ số là

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là:

0,5



Ta có
chia hết cho 7 khi và chỉ khi
chia hết cho 7. Đặt
là số nguyên khi và chỉ khi

0,5



Khi đó ta được:


suy ra số cách chọn ra t sao cho số
chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286.
Vậy xác suất cần tìm là:

0,5


2
1,5 điểm




Xét đẳng thức

0,5



+) Ta có
suy ra hệ số của số hạng chứa
là

0,5



+) Ta có

suy ra hệ số của số hạng chứa
là




Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
0,5

3
1
1,5 điểm




Đặt
; tập xác định
suy ra hàm số liên tục trên
. Ta có
0,25




suy ra
0,5




. Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt
có ba nghiệm phân biệt thuộc
.
0,25



Đặt
thay vào pt ta được:

, kết hợp với
ta được
. Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:

.
0,5


2
1,0 điểm




Nhận xét. Với mỗi số nguyên dương n ta có