SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Ngày thi 3 – 10 – 2013
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
-------------------------------------


Bài I (5 điểm).
Cho hàm số
có đồ thị

Tìm các điểm
cùng nằm trên
sao cho điểm
là trung điểm của đoạn thẳng

Cho ba điểm phân biệt
cùng thuộc
Các tiếp tuyến của
tại
cắt
tại điểm thứ hai lần lượt là
Chứng minh rằng: Nếu
thẳng hàng thì
cũng thẳng hàng.
Bài II (5 điểm).
Giải phương trình:

Giải hệ phương trình:

Bài III (2 điểm).
Cho các số thực
sao cho
và
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


Bài IV (5 điểm).
Trong không gian cho ba tia
không đồng phẳng. Đặt
Lấy các điểm
lần lượt trên các tia
sao cho
với

Gọi
là điểm nằm trên đoạn
sao cho
và
là trung điểm của đoạn thẳng
Tính độ dài đoạn thẳng
theo
trong trường hợp

Chứng minh rằng:

Bài V (3 điểm).
Cho dãy số
thỏa mãn điều kiện:


Chứng minh rằng
là dãy số tăng.
Với mỗi
đặt
Chứng minh rằng:

với mọi

---------------- HẾT ----------------
Họ tên thí sinh: …………………………….. Phòng thi: ………………….. Số báo danh …………..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: Toán
Ngày thi 3 – 10 – 2013
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
-------------------------------------

Bài
Đáp án
Điểm

Bài Ia.
Tìm cặp điểm đối xứng …
3 điểm


Gọi

Vì
là trung điểm của

1 điểm


Vì
nên

Thay (1) vào (2) ta được:


1 điểm


Với

Với

Vậy cặp điểm cần tìm là

1 điểm

Bài Ib.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng …
2 điểm


Gọi
với
đôi một khác nhau.
Ta có
thẳng hàng khi và chỉ khi:


1 điểm


Phương trình tiếp tuyến tại
là

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại A và
là:

Tiếp tuyến tại A cắt
tại điểm thứ hai

Tương tự

Vì
thẳng hàng.
1 điểm

Bài IIa.
Giải phương trình …
2 điểm


Đặt
Phương trình trở thành:


Ta có

1 điểm


Trường hợp 1. Với
loại.
Trường hợp 2. Với
ta có:


Vậy
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
1 điểm

Bài IIb.
Giải hệ phương trình …
3 điểm


Điều kiện:

Ta có:

1 điểm


Xét
là hàm đồng biến trên

Từ đó

1 điểm


Thay
vào
ta được:


Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

1 điểm

Bài III.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất …
2 điểm


* Ta có:


Đặt
Xét
với

0,5 điểm


Vì

Dấu bằng xảy ra khi
hoặc

Vậy
khi
hoặc

0,5 điểm


Ta có:



Đặt
Xét
với

0,5 điểm


Vì

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy
khi

0,5 điểm

Bài IVa.
Tính độ dài đoạn thẳng OI…
3 điểm


a) Ta có:

1 điểm


Mặt khác
nên

0,5 điểm


Từ đó:

0,5 điểm




Vậy

1 điểm

Bài IVb.
Chứng minh …
2 điểm


Vì
không đồng phẳng nên

1 điểm




1 điểm

Bài Va.
Chứng minh dãy tăng …
2 điểm


* Trước hết chứng minh
với mọi
bằng quy nạp. Thật vậy:
- Với
ta có:
mệnh đề đúng khi

- Giả sử mệnh đề đúng với
tức là
Ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với
tức là phải chứng minh
Thật vậy:


1 điểm